באַקוקן דעם מקור פון קוואדראטצאל

אין [[מאטעמאטיק]], איז א '''קוואדראטצאל''' א [[גאנצע צאל]] וואס מ'קען שרייבן אלס דער קוואדראט פון אן (אנדער) גאנצע צאל, ד.ה. דער פראדוקט פון א גאנצע צאל מיט זיך אליין. למשל , 9 איז א קוואדראטצאל , ווייל מען קען זי שרייבן 3 × 3. אלע קוואדראטצאלן זענען [[נישט-נעגאטיוו]]. מ'קען אויך זאגן אזוי—א (נישט-נעגאטיוו) צאל איז א קוואדראטצאל ווען איר [[קוואדראט ווארצל]] איז אויך א גאנצע צאל. למשל,<span dir=ltr> √9 = 3</span>, טא איז 9 א קוואדראטצאל.


געוויינלעך שרייבט מען פאר דעם קוואדראט פון דעם נומער ''n'' נישט דעם פראדוקט ''n''&nbsp;×&nbsp;''n'', נאר דעם עקוויוואלענט [[עקספאנענציאציע]] ''n''<sup>2</sup>, ארויסגערעדט "''n'' קוואדראטירט".
זענען דא <math> \lfloor \sqrt{n} \rfloor</math> קוואדראטצאלן ביז ''n'' (עד ועד בכלל). 

== ביישפילן ==
די ערשטע 49 קוואדראטצאל זענען: 

<div style="float:right; padding: 1em;">
:0<sup>2</sup> = [[נול|0]]
:1<sup>2</sup> = [[1 (נומער)|1]]
:2<sup>2</sup> = [[פיר|4]]
:3<sup>2</sup> = [[9 (נומער)|9]]
:4<sup>2</sup> = [[16 (נומער)|16]]
:5<sup>2</sup> = [[25 (נומער)|25]]
:6<sup>2</sup> = [[36 (נומער)|36]]
:7<sup>2</sup> = [[49 (נומער)|49]]
:8<sup>2</sup> = [[64 (נומער)|64]]
:9<sup>2</sup> = [[81 (נומער)|81]]
</div>
<div style="float:right; padding: 1em;">
:10<sup>2</sup> = [[100 (נומער)|100]]
:11<sup>2</sup> = [[121 (נומער)|121]]
:12<sup>2</sup> = [[144 (נומער)|144]]
:13<sup>2</sup> = [[169 (נומער)|169]]
:14<sup>2</sup> = [[196 (נומער)|196]]
:15<sup>2</sup> = 225
:16<sup>2</sup> = 256
:17<sup>2</sup> = 289
:18<sup>2</sup> = 324
:19<sup>2</sup> = 361
</div>

<div style="float:right; padding: 1em;">
:20<sup>2</sup> = 400
:21<sup>2</sup> = 441 
:22<sup>2</sup> = 484
:23<sup>2</sup> = 529
:24<sup>2</sup> = 576
:25<sup>2</sup> = 625
:26<sup>2</sup> = 676
:27<sup>2</sup> = 729
:28<sup>2</sup> = 784
:29<sup>2</sup> = 841
</div>

<div style="float:right; padding: 1em;">
:30<sup>2</sup> = 900
:31<sup>2</sup> = 961
:32<sup>2</sup> = 1024
:33<sup>2</sup> = 1089
:34<sup>2</sup> = 1156
:35<sup>2</sup> = 1225
:36<sup>2</sup> = 1296
:37<sup>2</sup> = 1369
:38<sup>2</sup> = 1444
:39<sup>2</sup> = 1521
</div>

<div style="float:right; padding: 1em;">
:40<sup>2</sup> = 1600
:41<sup>2</sup> = 1681
:42<sup>2</sup> = 1764
:43<sup>2</sup> = 1849
:44<sup>2</sup> = 1936
:45<sup>2</sup> = 2025
:46<sup>2</sup> = 2116
:47<sup>2</sup> = 2209
:48<sup>2</sup> = 2304
:49<sup>2</sup> = 2401
</div>
<br clear="both" />

== אייגנקייטן ==
דער נומער ''m'' איז א קוואדראטצאל נאר ווען מען קען איינארדענען ''m'' פונקטן אין א קוואדראט:
{| cellpadding="8"
|1<sup>2</sup>=1
|[[טעקע:Square number 1.png]]
|-
|2<sup>2</sup>=4
|[[טעקע:Square number 4.png]]
|-
|3<sup>2</sup>=9
|[[טעקע:Square number 9.png]]
|-
|4<sup>2</sup>=16
|[[טעקע:Square number 16.png]]
|-
|5<sup>2</sup>=25
|[[טעקע:Square number 25.png]]
|}

די ''n''טע קוואדראטצאל ''n''<sup>2</sup> איז גלייכווערטיג צו דער סומע פון די ערשטע ''n'' [[נום|נומען]] (<math>n^2 = \sum_{k=1}^n(2k-1)</math>), אזוי ווי מען זעט אין די בילדער אויבן, וואו איין קוואדראט קומט פון דעם פריערדיגן ווען מען לייגט צו א נומיקע צאל פונקטן (באצייכנט מיט '+').
למשל, 5<sup>2</sup> = 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9.

די ''n''קוואדראטצאל קען מען רעכענען פון די צוויי פריערדיגע דורך נעמען צוויי מאל דעם (''n''&nbsp;−&nbsp;1)טן קוואדראט, אראפנעמען דעם (''n''&nbsp;−&nbsp;2)טן קוואדראט, און צולייגן 2: <br /> (<math>n^2 = 2(n-1)^2-(n-2)^2+2</math>). למשל, <span dir=ltr>2×5<sup>2</sup>&nbsp;−&nbsp;4<sup>2</sup>&nbsp;+&nbsp;2 = 2×25&nbsp;−&nbsp;16&nbsp;+&nbsp;2 = 50&nbsp;−&nbsp;16&nbsp;+&nbsp;2 = 36 = 6<sup>2</sup></span>.

ס'איז כדאי צו באמערקן אז דh קוואדראטצאל פון יעדן נומער קען מען אויסרעכענען אלס א סומע 1 + 1 + 2 + 2 + ... + ''n''&nbsp;–&nbsp;1 + ''n''&nbsp;–&nbsp;1 + ''n''. למשל, די קוואדראטצאל פון 4 אדער 4<sup>2</sup> איז גלייך מיט 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4 = 16. 

א קוואדראטצאל איז אויך די סומע פון צוויי הינטעראנאנדיקע [[דרייעקיקע צאל]].

א קוואדראטצאל קען ענדיגן נאר מיט די ציפערן 00,1,4,6,9, אדער 25 אין באזע 10, ווי פאלגנדיק:

# אז דער לעצטער ציפער פון א  [[צאל]] איז 0, זיין קוואדראט לאזט אויס 00 און דער פריערדיקער [[ציפער]]ן מוזן אויף פארמירן א קוואדראט.
# אז דער לעצטער ציפער פון א צאל איז 1 אדער 9, זיין קוואדראט לאזט אויס 1 און די צאל פארמירט פון די פריערדיקע ציפער מוז טיילן זיך אויף פיר.
# אז דער לעצטער ציפער פון א צאל איז 2 אדער 8, זיין קוואדראט לאזט אויס 4 און דער פריערדיקער ציפער מוז זיין גראד.
# אז דער לעצטער ציפער פון א צאל איז 3 אדער 7, זיין קוואדראט לאזט אויס 9 און די צאל פארמירט פון די פריערדיקע ציפער מוז טיילן זיך אויף פיר.
# אז דער לעצטער ציפער פון א צאל איז 4 אדער 6, זיין קוואדראט לאזט אויס 6 און דער פריערדיקער ציפער מוז זיין '''נומיק'''. 
# אז דער לעצטער ציפער פון א צאל איז 5, זיין קוואדראט לאזט אויס 25 און דער פריערדיקער ציפער מוז זיין 0, 2, 06 אדער 56.

א גרינגן וועג צו  קוואדראטירן א צאל איז צו טרעפן צוויי צאלן וואס האבן זי אלס דורכשניט, 21<sup>2</sup>{{ר}}: 20 און  22, און טאפלען די צוויי צאלן און צולייגן דעם קוואדראט פון דער ווייט פונעם דורכשניט: 22×20 = 440&nbsp;+&nbsp;1<sup>2</sup> = 441. דאס ארבעט צוליב דער אידענטיטעט: (''x''&nbsp;–&nbsp;''y'')(''x''&nbsp;+&nbsp;''y'') {{ר}}= ''x''<sup>2</sup>&nbsp;–&nbsp;''y''<sup>2</sup>

באקאנט אלס דער  [[דיפערענץ פון צוויי קוואדראטן]]. אזוי (21&nbsp;–&nbsp;1)(21&nbsp;+&nbsp;1) = 21<sup>2</sup>&nbsp;–&nbsp;1<sup>2</sup> = 440, אז מען רעכנט צוריקוועגס. 

א קוואדראטצאל קען נישט זיין קיין [[פערפעקטע צאל]].

==נומיקע און גראדע קוואדראטצאלן ==

דער קוואדראט פון א גראדער צאל איז גראד, ווייל {{ר|רעכטס=יא}}(2''n'')<sup>2</sup> = 4''n''<sup>2</sup>.

דער קוואדראט פון א נומיקער צאל איז נומיק, ווייל  {{ר|רעכטס=יא}}(2''n'' + 1)<sup>2</sup> = 4(''n''<sup>2</sup> + ''n'') + 1.

אזוי אויך איז דער קוואדראט ווארצל פון א גראדער קוואדראטצאל גראד, און דער קוואדראט ווארצל פון א נומיקער צאל נומיק.

== טשענ'ס טעארעם ==
[[טשען זשינגרון]] האט געוויזן אין  1975 אז עס איז שטענדיק דא א צאל  ''P'' וואס איז אדער  א  [[פרימצאל]] אדער א [[האלבפרימצאל|פראדוקט פון צוויי פרימצאלן]] צווישן ''n''<sup>2</sup> און {{ר|רעכטס=יא}}(''n''+1)<sup>2</sup>.

== צו ליינען ווייטער ==
* Conway, J. H. and Guy, R. K. ''The Book of Numbers''. New York: Springer-Verlag, pp. 30-32, 1996. ISBN 0-387-97993-X

== וועבלינקען ==
* Dario Alpern, [http://www.alpertron.com.ar/FSQUARES.HTM Sum of squares]. A Java applet to decompose a natural number into a sum of up to four squares.
* [http://web.archive.org/web/20070625162103/http://mathdl.maa.org/convergence/1/?pa=content&sa=viewDocument&nodeId=1296&bodyId=1433 Fibonacci and Square Numbers] at [http://web.archive.org/web/20060212072618/http://mathdl.maa.org/convergence/1/ Convergence]


[[קאַטעגאָריע:נומערן]]
[[קאַטעגאָריע:אריטמעטיק]]